Question

已知u_n=aⁿ+a^n-1b+a^n-2b²+…+ab^n-1+bⁿ（n∈N^*，a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）當a=b時，求數列{u_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）求．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當a=b時，求出u_n=（n+1）aⁿ．再應用數列的前n項和錯位相減，求數列{u_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）求出的表達式，對a，b的大小分類討論，求出數列的極限．
解答：解：（Ⅰ）當a=b時，u_n=（n+1）aⁿ．這時數列{u_n}的前n項和S_n=2a+3a²+4a³++na^n-1+（n+1）aⁿ． ①
①式兩邊同乘以a，得aS_n=2a²+3a³+4a⁴++naⁿ+（n+1）aⁿ⁺¹②
①式減去②式，得（1-a）S_n=2a+a²+a³++aⁿ-（n+1）aⁿ⁺¹
若a≠1，（1-a）S_n=-（n+1）aⁿ⁺¹+a，
S_n=+=
若a=1，S_n=2+3++n+（n+1）=．
（Ⅱ）由（Ⅰ），當a=b時，u_n=（n+1）aⁿ，
則===a．
當a≠b時，u_n=aⁿ+a^n-1b++ab^n-1+bⁿ=aⁿ[1+++]==（aⁿ⁺¹-bⁿ⁺¹）
此時，=．
若a＞b＞0，===a．
若b＞a＞0，==b．
點評：本題是中檔題，考查數列求和的重要方法：錯位相減法，分類討論的思想，極限的求法，高考常考題型．