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已知un=an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn(n∈N*,a>0,b>0).
(Ⅰ)當a=b時,求數列{un}的前n項和Sn
(Ⅱ)求
【答案】分析:(Ⅰ)當a=b時,求出un=(n+1)an.再應用數列的前n項和錯位相減,求數列{un}的前n項和Sn;
(Ⅱ)求出的表達式,對a,b的大小分類討論,求出數列的極限.
解答:解:(Ⅰ)當a=b時,un=(n+1)an.這時數列{un}的前n項和Sn=2a+3a2+4a3++nan-1+(n+1)an. ①
①式兩邊同乘以a,得aSn=2a2+3a3+4a4++nan+(n+1)an+1
①式減去②式,得(1-a)Sn=2a+a2+a3++an-(n+1)an+1
若a≠1,(1-a)Sn=-(n+1)an+1+a,
Sn=+=
若a=1,Sn=2+3++n+(n+1)=
(Ⅱ)由(Ⅰ),當a=b時,un=(n+1)an
===a.
當a≠b時,un=an+an-1b++abn-1+bn=an[1+++]==(an+1-bn+1
此時,=
若a>b>0,===a.
若b>a>0,==b.
點評:本題是中檔題,考查數列求和的重要方法:錯位相減法,分類討論的思想,極限的求法,高考常考題型.
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lim
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un
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(1)當a=b時,求數列{un}的前n項和Sn;

(2)求.

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