Question

已知u_n=aⁿ+a^n-1b+a^n-2b²+…+ab^n-1+bⁿ（n∈N^*，a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=b時(shí)，求數(shù)列{u_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）求．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=b時(shí)，u_n=（n+1）aⁿ．這時(shí)數(shù)列{u_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a+3a²+4a³++na^n-1+（n+1）aⁿ． ①
①式兩邊同乘以a，得aS_n=2a²+3a³+4a⁴++naⁿ+（n+1）aⁿ⁺¹②
①式減去②式，得（1-a）S_n=2a+a²+a³++aⁿ-（n+1）aⁿ⁺¹
若a≠1，（1-a）S_n=-（n+1）aⁿ⁺¹+a，
S_n=+=
若a=1，S_n=2+3++n+（n+1）=．
（Ⅱ）由（Ⅰ），當(dāng)a=b時(shí)，u_n=（n+1）aⁿ，
則===a．
當(dāng)a≠b時(shí)，u_n=aⁿ+a^n-1b++ab^n-1+bⁿ=aⁿ[1+++]==（aⁿ⁺¹-bⁿ⁺¹）
此時(shí)，=．
若a＞b＞0，===a．
若b＞a＞0，==b．
分析：（Ⅰ）當(dāng)a=b時(shí)，求出u_n=（n+1）aⁿ．再應(yīng)用數(shù)列的前n項(xiàng)和錯(cuò)位相減，求數(shù)列{u_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）求出的表達(dá)式，對(duì)a，b的大小分類討論，求出數(shù)列的極限．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列求和的重要方法：錯(cuò)位相減法，分類討論的思想，極限的求法，高考常考題型．