Question

已知u_n=aⁿ+a^n-1b+a^n-2bⁿ+…+ab^n-1+bⁿ(n∈N^*,a＞0,b＞0).

(1)當a=b時,求數列{u_n}的前n項和S_n;

(2)求.

Answer 1

解:(1)當a=b時,u_n=(n+1)aⁿ.這時數列{u_n}的前n項和

    S_n=2a+3a²+4a³+…+na^n-1+(n+1)aⁿ.                  ①

    ①式兩邊同乘以a,得

    aS_n=2a²+3a³+4a⁴+…+naⁿ+(n+1)aⁿ⁺¹.              ②

    ①式減去②式,得

     (1-a)S_n=2a+a²+a³+…+aⁿ-(n+1)aⁿ⁺¹.

    若a≠1,

     (1-a)S_n=-(n+1)aⁿ⁺¹+a.

    S_n=+

    =.

    若a=1,

    S_n=2+3+…+n+(n+1)=.

    (2)由(1),當a=b時,u_n=(n+1)aⁿ,則

    ===a.

    當a≠b時,

    u_n=aⁿ+a^n-1b+…+ab^n-1+bⁿ

    =aⁿ［1++()²+…+()ⁿ］

    =aⁿ=(aⁿ⁺¹-bⁿ⁺¹).

    此時,=.

    若a＞b＞0,=

    ==a.

    若b＞a＞0,==b.