Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=2，n•a_n+1=S_n+n（n+1）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令bn=(

2

3

)n•Sn，是否存在正整數m，使得對一切正整數n，總有b_n≤m？若存在，求出m的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把n=1代入已知的等式，由S₁=a₁=2，得到第2項與第1項的差為常數2，然后由已知的等式，記作①和把n換為n-1得到另外一個等式，記作②，①-②化簡后，得第n+1項與第n項的差也為常數2，綜上，得到此數列為首項是2，公差也是2的等差數列，寫出通項公式即可；
（2）存在．原因是：根據（1）求出的首項和公差利用等差數列的前n項和公式表示出S_n，代入已知的bn=(

2

3

)n•Sn中，化簡可得b_n的通項公式，求出

bn+1

bn

大于等于1時x的范圍，即可得到第四項與第五項相等且為最大項，把n=4或5代入b_n的通項公式即可求出最大項的值，令m大于等于求出的最大項的值，在解集中求出正整數m的最小值即可．

解答：解：（1）把n=1，代入n•a_n+1=S_n+n（n+1）得：
1•a₂=S₁+1=a₁+1=2+1=3，即a₂-a₁=2，
由

n•an+1=Sn+n(n+1)① (n-1)•an=Sn-1+n(n-1)②

，
①-②得：n•a_n+1-（n-1）•a_n=a_n+2n，
化簡得：a_n+1-a_n=2（n≥2），
∵a₂-a₁=2，∴a_n+1-a_n=2（n∈N⁺），
即數列{a_n}是以2為首項，2為公差的等差數列，
∴a_n=2+2（n-1）=2n；

（2）存在．
∵a_n=2n，∴S_n=2n+

n(n-1)

2

×2=n（n+1），
則b_n=(

2

3

)n•S_n=(

2

3

)n•n（n+1），
∴

bn+1

bn

=

2

3

（1+

2

n

）≥1，解得n≤4，
∴b₁＜b₂＜b₃＜b₄=b₅＞b₆＞b₇＞…＞b_n＞…
∴b₄=b₅=

320

81

最大，
∴m≥

320

81

，又m為正整數，
∴m的最小值為4．

點評：此題考查學生利用數列的遞推式推斷出數列為等差數列，掌握不等式恒成立時滿足的條件，靈活靈活等差數列的通項公式及前n項和公式化簡求值，是一道中檔題．