Question

12．等差數列{a_n}前n項和為S_n，${S_p}=\frac{p}{q}$，${S_q}=\frac{q}{p}$（p≠q），則S_p+q的值是（　　）

• A． 大于4
• B． 小于4
• C． 等于4
• D． 不確定

Answer 1

分析 利用等差數列的求和公式、重要不等式的性質即可得出．

解答 解：設等差數列{a_n}的公差為d，∵${S_p}=\frac{p}{q}$，${S_q}=\frac{q}{p}$（p≠q），
∴pa₁+$\frac{p（p-1）}{2}$d=$\frac{p}{q}$，qa₁+$\frac{q（q-1）}{2}$d=$\frac{q}{p}$，
∴（p-q）a₁+$\frac{（p-q）（p+q-1）}{2}$d=$\frac{（p-q）（p+q）}{pq}$，
∴a₁+$\frac{p+q-1}{2}$d=$\frac{p+q}{pq}$，可得a₁=-$\frac{p+q-1}{2}$d+$\frac{p+q}{pq}$，
則S_p+q=（p+q）a₁+$\frac{（p+q）（p+q-1）}{2}$d=（p+q）×（-$\frac{p+q-1}{2}$d+$\frac{p+q}{pq}$）+$\frac{（p+q）（p+q-1）}{2}$d=$\frac{（p+q）^{2}}{pq}$≥$\frac{4pq}{pq}$=4，當且僅當p=q∈N^*時取等號．
故選：A．

點評 本題考查了等差數列的求和公式、重要不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．