Question

如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1, 分別是棱，的中點(diǎn)，過直線的平面分別與棱、交于，設(shè)，，給出以下四個(gè)命題：

①平面平面；

②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最小；

③四邊形周長(zhǎng)，是單調(diào)函數(shù)；

④四棱錐的體積為常函數(shù)；

以上命題中真命題的序號(hào)為            。

 

Answer 1

【答案】

①②④

【解析】

試題分析：①連結(jié)，則由正方體的性質(zhì)可知，平面，所以平面平面，所以①正確；②連結(jié)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121423392346261491/SYS201312142340084559923886_DA.files/image002.png">平面，所以，四邊形的對(duì)角線是固定的，所以要使面積最小，則只需的長(zhǎng)度最小即可，此時(shí)當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)長(zhǎng)度最小，對(duì)應(yīng)四邊形的面積最小．所以②正確；③因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121423392346261491/SYS201312142340084559923886_DA.files/image006.png">，所以四邊形是菱形．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度由大變小．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度由小變大．所以函數(shù)不單調(diào)．所以③錯(cuò)誤；④連結(jié)則四棱錐分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以為底，以分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121423392346261491/SYS201312142340084559923886_DA.files/image018.png">的面積是個(gè)常數(shù)，到平面的距離是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐的體積為常函數(shù)，所以④正確．所以選C．

考點(diǎn)：1、空間點(diǎn)線面位置關(guān)系；2、空間幾何體面積與體積的計(jì)算．