Question

求函數y=+sin2x的最小值.

Answer 1

剖析:要求最值,需先進行三角恒等變形,化為一個角的一個三角函數形式.

解法一:因為sin3xsin³x+cos3xcos³x=(sin3xsinx)sin²x+(cos3xcosx)cos²x

    =［(cos2x-cos4x)］sin²x+［(cos2x+cos4x)cos²x］

    =［cos2x+(cos²x-sin²x)cos4x］

    =(cos2x+cos2xcos4x)

    =cos2x(1+cos4x)=cos³2x,

    ∴y=+sin2x

    =cos2x+sin2x

    =sin(2x+).

    當sin(2x+)=-1時,y取最小值-.

解法二:(只需記住三倍角的正、余弦角公式,可避開積化和差公式,而較方便地獲解)

    因為sin3xsin³x+cos3xcos³x

    =(3sinx-4sin³x)sin³x+(4cos³x-3cosx)cos³x

    =3sin⁴x-3cos⁴x+4cos⁶x-4sin⁶x

    =3(sin²x+cos²x)(sin²x-cos²x)+4(cos²x-sin²x)(cos⁴x+cos²xsin²x+sin⁴x)

    =-3cos2x+4cos2x［(cos²x+sin²x)-sin²xcos²x］

    =-3cos2x+4cos2x(1-sin²x)

    =-3cos2x+4cos2x(+cos²2x)

    =cos³2x.

    以下同解法一.

講評:由本例可看出,求三角函數的最值,仍離不開三角函數式的恒等變形,這就要求熟練掌握三角函數恒等變形的常用方法,而關鍵還在于熟記常用的三角公式.