Question

設(shè)A、B、C為銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角，

n

=(sinB-sinC+sinA，sinB)，

m

=(sinB-sinC-sinA，sinC)，且滿足

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函數(shù)y=sin2(

A+C

2

-

π

3

)+cos2(B-

π

3

)的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

m

⊥

n

．可知

m

•

n

=0可得sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC利用正弦定理，得到了三邊的關(guān)系，進(jìn)而同理余弦定理求出cosA，進(jìn)而求出A．
（Ⅱ）對原式進(jìn)行化簡，得到關(guān)于cos（B-

π

3

）的函數(shù)，在利用B的范圍和余弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值．

解答：解：（Ⅰ）依題意，

m

•

n

=(sinB-sinC+sinA)(sinB-sinC-sinA)+sinBsinC=0
即sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC
由正弦定理得，b²+c²-a²=bc，
由余弦定理得，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

∴A=

π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，B+C=

2π

3

，∵三角形ABC為銳角三角形，∴

π

6

＜B＜

π

2

．
y=sin2(

A+C

2

-

π

3

)+cos2(B-

π

3

)=sin2(

π

6

-

B

2

)+cos2(B-

π

3

)
=

1

2

[1-cos(

π

3

-B)]+2cos2(B-

π

3

)-1=2cos2(B-

π

3

)-

1

2

cos(B-

π

3

)-

1

2

=2[cos(B-

π

3

)-

1

8

]2-

17

32

∵B-

π

3

∈(-

π

6

，

π

6

)，∴cos(B-

π

3

)∈(

3

2

，1]，
∴當(dāng)B=

π

3

時(shí)，y取最大值1．

點(diǎn)評：本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用．向量積是解決兩邊及夾角的常用方法，應(yīng)注意靈活應(yīng)用．