Question

【題目】已知函數，.現有如下兩種圖象變換方案：

方案1：將函數的圖像上所有點的橫坐標變為原來的一半，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位長度；

方案2：將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標變為原來的一半，縱坐標不變.

請你從中選擇一種方案，確定在此方案下所得函數的解析式，并解決如下問題：

（1）畫出函數在長度為一個周期的閉區間上的圖象；

（2）請你研究函數的定義域，值域，周期性，奇偶性以及單調性，并寫出你的結論.

Answer 1

【答案】（1），圖象見解析；（2）見解析.

【解析】

利用函數的圖象變換規律可知無論在何種方案下所得的函數都是，

（1）作出函數在這一周期上的圖象：

（2）利用正弦函數的圖象和性質即可得出結論．

解：方案1：將函數的圖像上所有點的橫坐標變為原來的一半，縱坐標不變得到，再將圖象向左平移個單位長度得到，即

方案2：將函數的圖象向左平移個單位長度得到，再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的一半，縱坐標不變得到，即

所以，無論在何種方案下所得的函數都是，

（1）如圖，是函數在這一周期上的圖象：

（2）函數

定義域：；值域：；周期：；

奇偶性：因為，，所以不具有奇偶性．

單調性：令，

解得，，即函數在，上單調遞增；

同理可得函數的單調遞減區間為：，