Question

AB垂直于△BCD所在的平面，AC=

10

，AD=

17

，BC：BD=3：4，當△BCD的面積最大時，點A到直線CD的距離為

13

5

．

Answer 1

分析：利用線面垂直的性質可得AB⊥BC，AB⊥BD，利用勾股定理可得BC、BD、AB．當∠CBD=90°時，△BCD的面積最大，CD=

BC2+BD2

．過點B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，則CD⊥AE．利用等面積可得BE，再利用勾股定理可得AE．

解答：解：如圖所示．設BC=3x，則BD=4x．∵AB⊥平面BCD．
∴AB⊥BC，AB⊥BD．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=

AC2-BC2

=

10-9x2

．
在Rt△ABD中，同理，AB=

17-16x2

，
∴

10-9x2

=

17-16x2

，解得x=1．
∴BC=3，BD=4，AB=1．
當∠CBD=90°時，△BCD的面積最大，CD=

BC2+BD2

=5．
過點B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，則CD⊥AE．
在Rt△BCD中，BE=

BC•BD

CD

=

12

5

．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BE．
∴AE=

AB2+BE2

=

1+( 12 5 )2

=

13

5

．
故答案為

13

5

．

點評：本題綜合考查了線面垂直的性質、勾股定理等基礎知識與基本方法，屬于基礎題．