Question

選做題（考生只能從A，B，C中選做一題，多做以所做第一題記分）
A．（不等式選做題）
已知a∈R，若關于x的方程x²+4x+|a-1|+|a+1|=0無實根，則a的取值范圍是________．
B．（幾何證明選做題）
如圖，CD是圓O的切線，切點為C，點A、B在圓O上，BC=1，∠BCD=30°，則圓O的面積為________．
C．（坐標系與參數方程選做題）
在極坐標系中，若過點（1，0）且與極軸垂直的直線交曲線ρ=4cosθ于A、B兩點，則|AB|=________．

Answer 1

（-∞，-2）∪（2，+∞）    π    2
分析：A．一元二次方程無實數根的充要條件是△＜0，轉化為|a-1|+|a+1|＞4，對a分a＞1、-1≤a≤1、a＜-1三種情況討論即可；
B．利用弦切角定理和正弦定理即可得出；
C．先把曲線的極坐標方程化為普通方程，再與直線的方程聯立解出點A、B的坐標，利用兩點間的距離公式即可求出．
解答：A．∵關于x的方程x²+4x+|a-1|+|a+1|=0無實根，∴△=4²-4（|a-1|+|a+1|）＜0，解得|a-1|+|a+1|＞4，
①當a＞1時，上述不等式可化為2a＞4，解得a＞2＞1，滿足條件；
②當-1≤a≤1時，上述不等式可化為2＞4，此時不符合條件，應舍去；
③當a＜-1時，上述不等式可化為-2a＞4，解得a＜-2，滿足條件．
綜上可知：a的取值范圍是（-∞，-2）∪（2，+∞）．
B．由弦切角定理可得：∠CAB=∠DCB=30°，
在△ABC中，由正弦定理得：，r為△ABC的外接圓的半徑．
∴=2，解得r=1，
∴圓O的面積=π×1²=π．
故答案為π．
C．∵曲線ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，化為普通方程：x²+y²=4x，與直線x=1聯立得，解得．
∴，．
∴|AB|=．
故答案為．
點評：正確理解一元二次方程無實數根的條件、利用分類討論方法解含絕對值不等式、弦切角定理和正弦定理、聯立方程組的解與曲線與直線的交點、兩點間的距離公式是解題的關鍵．