Question

如圖甲，四邊形ABCD是由兩個直角三角形拼成的平面圖形，△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，△CBD中∠C=90°，
∠DBC=30°，CD=1．現將四邊形ABCD沿BD折起，使AB⊥平面BCD（如圖乙），連AC，作BE垂直AC于E，BF垂直AD于F．

（Ⅰ）求證：AD⊥平面BEF；
（Ⅱ）求BC與平面BEF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在線段BD上是否存在一點M，使得CM∥平面BEF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證AD⊥平面BEF，可通過證明BE⊥AD，BF⊥AD證得．BE⊥AD由BE⊥平面ADC來證得，在等腰直角三角形ABD，可知BF⊥AD．
（Ⅱ）在平面ADC內，過點C作CG平行于AD交FE的延長線于點G，∠CBG為直線BC和平面BEF所成的角．在RT△BGC中求解即可．
（Ⅲ）過點C作CH∥EF交AD于點H，過H作HM∥FB交BD于點M，M即為所求的點．且比值為．
解答：（Ⅰ）證明：因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥DC，又BC⊥DC，
所以DC⊥平面ABC，BE?平面ABC，則DC⊥BE，…（2分） 
 又BE⊥AC，所以BE⊥平面ADC，得BE⊥AD．
又△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，可知BF⊥AD．
BE∩BF=B，所以AD⊥平面BEF…（4分）
（Ⅱ）解：在平面ADC內，過點C作CG平行于AD交FE的延長線于點G，
連接BG，因為AD⊥平面BEF，所以CG⊥平面BEF，
所以∠CBG為直線BC和平面BEF所成的角．…（6分）
由∠DBC=30°，CD=1，
在RT△ABC中，BC=，AB=BD=2，AC= 
由AB²=AE•AC得AE=，CE=，
又AF=AD=，由得CG=．
在RT△BGC中，sin∠CBG==cos∠CBG=，
所以直線BC與平面BEF所成角的余弦值為．…（8分）
（Ⅲ））解：存在一點M，使得CM∥平面BEF．
過點C作CH∥EF交AD于點H，過H作HM∥FB交BD于點M，則平面CMH∥平面BEF，得CM∥平面BEF，點M即為所求的點…（10分）
又四邊形CHFG為矩形，所以HF=CG=，
因為HM∥FB，則…（12分）
點評：本題考查本題考查空間直線與直線、直線與平面位置關系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力．