Question

【題目】將圓上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的，得曲線．

（1）求出的參數方程;

（2）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，設是曲線上的一個動點，求點到直線距離的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（為參數）；（2）.

【解析】

（1）寫出圓的參數方程，利用伸縮變換可得出曲線的參數方程；

（2）寫出曲線的普通方程，先判斷出直線與曲線相離，設點，利用點到直線的距離公式，結合輔助角公式以及正弦函數的有界性可求得點到直線距離的最小值.

（1）圓的參數方程為（為參數），

將圓上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的，得到曲線，

所以曲線的參數方程是（為參數）；

（2）因為C的普通方程是．

與直線聯立解得．

因為，方程無解，所以直線與曲線相離.

則點到直線距離為，

，所以，當時，取最小值，即.