【題目】已知函數
（1）若函數
在x=1時取得極值，求實數a的值；
（2）當0＜a＜1時，求零點的個數.
【答案】（1）1；（2）兩個
【解析】
(1) 函數
在x=1時取得極值，得
，解得
，時，
，求單調區間，驗證在x=1時取得極值 （2）
，由
，得
減區間為
，增區間為
，其極小值為
，
，函數在上有且僅有一個零點，根據
，
，
令
，得
，又因為
，所以
，所以當時，
，根據零點存在定理，函數在上有且僅有一個零點.
解：(1)定義域為
，
，
由已知，得，解得，
當時，，
所以
，
所以減區間為
，增區間為
，
所以函數在
時取得極小值，其極小值為
，符合題意，所以
(2)令，由，得
所以
，
，
所以減區間為，增區間為，
所以函數在
時取得極小值，其極小值為，
因為，所以
，
，
所以
，所以
，
因為，
根據零點存在定理，函數在上有且僅有一個零點，
因為，，
令，得，又因為，所以，
所以當時，，
根據零點存在定理，函數在上有且僅有一個零點，
所以，當時，有兩個零點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
過點
，且其離心率為
，過坐標原點
作兩條互相垂直的射線與橢圓
分別相交于
，
兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在圓心在原點的定圓與直線
總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知直線
：
（
為參數）.以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的直角坐標方程；
（2）設點
的直角坐標為
，直線與曲線的交點為
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年全國數學奧賽試行改革：在高二一年中舉行5次全區競賽，學生如果其中2次成績達全區前20名即可進入省隊培訓，不用參加其余的競賽，而每個學生最多也只能參加5次競賽.規定：若前4次競賽成績都沒有達全區前20名，則第5次不能參加競賽.假設某學生每次成績達全區前20名的概率都是
，每次競賽成績達全區前20名與否互相獨立.
（1）求該學生進入省隊的概率.
（2）如果該學生進入省隊或參加完5次競賽就結束，記該學生參加競賽的次數為
，求
的分布列及
的數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將圓
上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的
，得曲線
．
（1）求出的參數方程;
（2）以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，設
是曲線上的一個動點，求點到直線
距離的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】三角形面積為
，
，
，
為三角形三邊長，
為三角形內切圓半徑，利用類比推理，可以得出四面體的體積為（ ）
A. 
B. 
C. 
（
為四面體的高）
D. 
（其中
，
，
，
分別為四面體四個面的面積，為四面體內切球的半徑，設四面體的內切球的球心為
，則球心到四個面的距離都是）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高三年級學生會主席團有共有
名同學組成,其中有
名同學來自同一班級,另外兩名同學來自另兩個不同班級.現從中隨機選出兩名同學參加會議,則兩名選出的同學來自不同班級的概率為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知拋物線
：
和⊙
，過拋線上一點
作兩條直線與⊙相切于A、B兩點，分別交拋物線于E、F兩點，圓心點到拋物線準線的距離為
．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）當
的角平分線垂直x軸時，求直線EF的斜率；
（Ⅲ）若直線AB在
軸上的截距為
，求的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
是正整數.在一個十進制位數的各位數字中，若含有數字8，則在每個數字8的前一位數字就不能是數字3（即不能出現38字樣）.試求出所有這樣的位數的個數.
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