Question

已知P為拋物線y=x²上的動點,定點A(a,0)關于P點的對稱點是Q.

(1)求點Q的軌跡方程;

(2)若(1)中的軌跡與拋物線y=x²交于B、C兩點,當AB⊥AC時,求a的值.

Answer 1

解析:(1)設P、Q的坐標分別為(x₀,y₀)和(x,y),由對稱性得x₀=,y₀=,又y₀=x₀²,

∴=,即y=(x+a)²為所求的軌跡方程.

(2)由得x²-2ax-a²=0,∴∵x₁≠x₂,∴a≠0.

∵AB⊥AC,∴=-1,即y₁y₂+x₁x₂-a(x₁+x₂)+a²=0.

∵y₁·y₂=x₁²·x₂²=(x₁·x₂)²=a⁴,∴a⁴-a²-2a²+a²=0,即得a=±.