Question

已知P為拋物線y=

1

2

x2上的動點，點P在x軸上的射影為M，點A的坐標是(6，

17

2

)，則|PA|+|PM|的最小值是（　　）

• A、8
• B、

  19

  2

• C、10
• D、

  21

  2

Answer 1

分析：先根據拋物線的方程求得焦點坐標和準線方程，延長PM交準線于H點推斷出|PA|=|PH|，進而表示出|PM|，問題轉化為求PF|+|PA|的最小值，由三角形兩邊長大于第三邊可知，|PF|+|PA|＞|FA|，直線FA與 拋物線交于P₀點，可得P₀，分析出當P重合于P₀時，①可取得最小值，進而求得|FA|，則|PA|+|PM|的最小值可得．

解答：解：依題意可知焦點F（0，

1

2

），準線 y=-

1

2

，延長PM交準線于H點．則|PF|=|PH|
|PM|=|PH|-

1

2

=|PF|-

1

2

|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-

1

2

，我們只有求出|PF|+|PA|最小值即可．
由三角形兩邊長大于第三邊可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①
設直線FA與 拋物線交于P₀點，可計算得P₀ （3，

9

4

），另一交點（-

1

3

，

1

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舍去．
當P重合于P₀時，①可取得最小值，可得|FA|=10．
則所求為|PM|+|PA|=

19

2

故選B

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質．考查了考生分析問題的能力，數形結合的思想的運用．