Question

15．已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，c=2，且sin²A+sin²B=sinAsinB+sin²C，則△ABC面積的最大值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用正余弦定理化簡(jiǎn)，求出C角的大小，利用基本不等式求解即可．

解答 解：∵sin²A+sin²B=sinAsinB+sin²C，
由正弦定理可得：a²+b²=ab+c²，
則cosC=$\frac{a^2+b^2-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．
∵c=2，
∴a²+b²=ab+4，
可得ab+4≥2ab，解得ab≤4．（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）
那么：△ABC面積$S=\frac{1}{2}absinC$$≤\frac{1}{2}×4×sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理化簡(jiǎn)計(jì)算能力和基本不等式的運(yùn)用求最值問(wèn)題．屬于基礎(chǔ)題．