Question

【題目】多面體， ， ， ， ， ， ， 在平面上的射影是線段的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）過(guò)E作EO//A1A交AB于O，連接CO，先證明四邊形OEC1C是平行四邊形，可得C1E//CO，由C1E⊥面ABB1A1，得CO⊥面ABB1A1，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)以 為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面AB1C1的法向量與平面A1B1BA的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（1）證明：過(guò)E作EO//A1A交AB于O，連接CO，

由梯形的中位線知： ，

∴OE＝CC1，又OE//CC1，

故四邊形OEC1C是平行四邊形，

∴C1E⊥面ABB1A1，則CO⊥面ABB1A1，

又CO在面ABC內(nèi)，

∴面ABC⊥面ABB1A1；

（2）如圖以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， CO＝C1E=2， ， ， ，

∴， ，

設(shè)面AB1C1的法向量為，

依題知： ，即，

令a=1，得b=－2，c=2，∴，底面A1B1BA的法向量為，

∴．

∴二面角C1－AB1－A1的余弦值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直、面面垂直的判定，利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.