Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若asinC=

3

ccosA，

AB

•

AC

=2．
（I）求△ABC的面積；
（II）若b=1，求a的值．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理化簡已知的第一個等式，根據(jù)sinC不為0，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出tanA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，進而確定出sinA與cosA的值，再利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算第二個等式，求出bc的值，由bc與sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積；
（II）由bc及b的值，求出c的值，再由cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（I）由正弦定理化簡asinC=

3

ccosA得：sinAsinC=

3

sinCcosA，
∵C為三角形的內角，sinC≠0，
∴sinA=

3

cosA，即tanA=

3

，
∵A為三角形的內角，∴A=

π

3

，
又

AB

•

AC

=bccosA=2，∴bc=4，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

；
（II）∵bc=4，b=1，
∴c=4，又cosA=

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+16-4=13，
則a=

13

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)間的基本關系，平面向量的數(shù)量積運算，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．