Question

已知函數f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）先求出f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

 再根據導數的幾何意義可得f'（1）=f'（3）求出a即可．
（2）根據函數的單調性與導數的關系可知令f'（x）＞0可得到增區間，令f'（x）＜0可得到減區間但要注意前提是x＞0．

解答：解：∵函數f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)
∴定義域為（0，+∞）
∴f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

 （x＞0）．
（Ⅰ）∵曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行
∴f'（1）=f'（3）
∴a=

2

3

（Ⅱ）∵f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

 （x＞0）．
∴①當a≤0 時，x＞0，ax-1＜0，
在區間（0，2）上，f'（x）＞0；
在區間（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的單調遞增區間是（0，2），單調遞減區間是（2，+∞）．
②當0＜a＜

1

2

 時，

1

a

＞2，在區間（0，2）和(

1

a

，+∞) 上，f'（x）＞0；
在區間(2，

1

a

) 上f'（x）＜0，
故f（x）的單調遞增區間是（0，2）和(

1

a

，+∞)，單調遞減區間是(2，

1

a

)．
③當a=

1

2

 時，f′(x)=

(x-2)2

2x

，
故f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）．
④當a＞

1

2

時，0＜

1

a

＜2，在區間(0，

1

a

) 和（2，+∞）上，f'（x）＞0；
在區間(

1

a

，2) 上f'（x）＜0，
故f（x）的單調遞增區間是(0，

1

a

) 和（2，+∞），單調遞減區間是(

1

a

，2)．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，屬常考題，較難．解題的關鍵是透徹理解導數的幾何意義以及導數與函數單調性之間的關系，但此題的難點是會解含參不等式

(ax-1)(x-2)

x

＞0及不等式

(ax-1)(x-2)

x

＜0，同時要注意單調區間必須寫成集合的形式！