Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足2S_n²=2a_nS_n-a_n（n≥2）且a₁=2，求a_n和S_n．

Answer 1

分析：在數列{a_n}中，S_n=a₁+a₂+…+a_n；當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．將n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．代入題干關系式，化為數列{S_n}的遞推公式，應通過構造新數列，求出數列{S_n}的通項公式，再求a_n．

解答：解：∵2S_n²=2a_nS_n-a_n（n≥2），
∴2S_n²=2（S_n-S_n-1）S_n-（S_n-S_n-1）．
計算化簡得，S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，兩邊同除以S_nS_n-1，
得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，（n≥2），
∴數列{

1

Sn

}是以2為公差的等差數列，首項

1

S1

=

1

a1

=

1

2

，
∴數列{

1

Sn

}的通項公式為

1

Sn

=

1

2

+2（n-1）=

4n-3

2

，
∴S_n=

2

4n-3

，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

2

4n-3

-

2

4(n-1)-3

=-

8

(4n-3)(4n-7)

，
所以a_n=

2，n=1 - 8 (4n-3)(4n-7) ，n≥2

點評：本題考查數列遞推公式和通項公式，數列求和．關鍵是利用了當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1進行變形構造．