Question

如圖，三角形中，，是邊長為的正方形，平面⊥底面，若、分別是、的中點．

（1）求證：∥底面；
（2）求證：⊥平面；
（3）求幾何體的體積．

Answer 1

詳見解析

試題分析：（1）根據：面面平行，線面平行的定理，所以取的中點,連,分別為的中點，所以,然后根據面面平行的判定定理證明面//面,進一步證得∥底面；（2）根據,證得是直角，根據面面垂直，的性質定理，結合是邊長為的正方形，得,證得線線垂直，線面垂直；（3）取中點,即,幾何體看成四棱錐的體積，代入公式,根據面面垂直，線面垂直的性質定理等可證，,代入數字，得到結果.
試題解析：（I）解：取的中點，連結，（如圖）

因為分別是和的中點，
所以，，       2分
又因為為正方形，   所以，從而，
所以平面，平面，，
所以平面//平面，
所以//平面.
（2）因為為正方形，所以，所以平面，     4分
又因為平面⊥平面，所以平面，             6分
所以，
又因為，
所以，
因為,
所以平面.                     8分
（3）連結，因為，所以，                   9分
又平面⊥平面，平面，所以⊥平面。
因為三角形是等腰直角三角形，所以，            11分
因為是四棱錐，
所以=.