Question

已知四棱錐P­ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分別為棱BC，AD的中點．
 
(1)求證：DE∥平面PFB；
(2)已知二面角P­BF­C的余弦值為，求四棱錐P­ABCD的體積．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)因為E，F分別為正方形ABCD的兩邊BC，AD的中點，所以BE綉FD，即BEDF為平行四邊形，
∴ED∥FB，∵FB?平面PFB，且ED?平面PFB，
∴DE∥平面PFB.
(2)以D為原點，直線DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．如圖，設PD＝a，

可得如下點的坐標P(0,0，a)，F(1,0,0)，B(2,2,0)．
則有＝(1,0，－a)，＝(1,2,0)．
因為PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為m＝(0,0,1)．
設平面PFB的法向量為n＝(x，y，z)，
則可得即.，
令x＝1, 得z＝，y＝－，
所以n＝.
由已知二面角P-BF-C的余弦值為，
所以得cos〈m，n〉＝＝，
∴a＝2，∴V_P－ABCD＝×2×2×2＝