Question

已知拋物線y=

1

4

x2的焦點F和點A（-1，7）．p為拋物線上的一點，則|PA|+|PF|的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根據拋物線的標準方程 求出焦點坐標和準線方程，利用拋物線的定義可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，故|AM|（A到準線的距離）為所求．

解答：解：拋物線y=

1

4

x2的標準方程為 x²=4y，p=2，焦點F（0，1），準線方程為y=-1．
設p到準線的距離為PM，（即PM垂直于準線，M為垂足），
則|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|=8，（當且僅當P、A、M共線時取等號），
故答案為 8．

點評：本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，得到|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，是解題的關鍵．