Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，點E、F分別為棱AC與A₁B₁的中點．
（1）求三棱錐A₁-EFC₁的體積；
（2）求異面直線A₁C與EF所成角的大小．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）首先對所求的幾何體的體積進行轉換，進一步利用體積關系式求出結果．
（2）首先做出異面直線的夾角的平面角，進一步利用余弦定理求出結果．

解答： 解：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，
點E、F分別為棱AC與A₁B₁的中點．
所以：VA1-EFC1=VE-A1FC1=

1

3

S△A1FC1•AA1=

1

3

•

1

2

•A1C1•A1F•AA1=

2

3

． 
（2）取AA₁中點G，聯結EG，FG，則EG∥A₁C，
所以，∠FEG是異面直線A₁C與EF所成的角（或其補角），
在△EFG中，EG=FG=

2

，EF=

6

，
所以，cos∠FEG=

EG2+EF2-FG2

2•EF•EG

=

3

2

，
故∠FEG=

π

6

． 
所以，異面直線A₁C與EF所成角的大小為

π

6

．

點評：本題考查的知識要點：錐體的體積轉換，余弦定理的應用，異面直線的夾角，屬于基礎題型．