Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，點P為DD₁的中點．
（1）求證：直線BD₁∥平面PAC；
（2）求證：平面PAC⊥平面BDD₁．

Answer 1

分析：（1）設AC和BD交于點O，連接PO，由P，O分別是DD₁，BD的中點，知PO∥BD₁，由此能夠證明BD₁∥面PAC．
（2）由題設條件推導出AC⊥面BDD₁，由此能夠證明平面PAC⊥平面BDD₁．

解答：證明：（1）設AC和BD交于點O，連接PO，
∵P，O分別是DD₁，BD的中點，∴PO∥BD₁，
又∵BD₁?面PAC，PO?面PAC，
∴BD₁∥面PAC．
（2）∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，
∴底面ABCD是正方形，則AC⊥BD．
∵DD₁⊥面ABCD，∴DD₁⊥AC，
∴AC⊥面BDD₁，
∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面BDD₁．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時要認真審題，仔細解答．