Question

CD為直角三角形ABC中斜邊AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面積成等比數列，求∠B（用反三角函數表示）．

Answer 1

【答案】分析：要用反三角函數表示∠B，關鍵是要解三角形，求出含B的三角形中對應的邊長，再利用三角函數的定義求出∠B的一個三角函數值，再用反三角函數表示∠B．
解答：解：設CD=h，AB=c，BD=x，則AD=c-x
因此，△ACD的面積為，
△CBD的面積為，△ABC的面積為，依題意，
，
即x²=c（c-x），即x²+cx-c²=0，
．
∵取負號不合題意，∴取正號，得．
又依直角三角形的性質，有AC²=AD•AB=c（c-x）．
但x²=c（c-x），∴AC²=x²，∴AC=x=DB=．
在直角三角形ABC中，．
故．
點評：在雙垂直問題（即過直角三角形的直角頂點做斜邊上的高）中，要善于利用勾股定理、射影定理去尋求邊與邊之間的關系．