Question

在四棱錐P-ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，

AB

AD

=

2

，直線PA與底面ABCD成60°角，點M，N分別是PA，PB的中點．
（1）求二面角P-MN-D的大小；
（2）當

CD

AB

的值為多少時，△CDN為直角三角形．

Answer 1

分析：（1）由已知中AD⊥AB，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，我們可得∠PMD為二面角P-MN-D的平面角．由線PA與底面ABCD成60°角，進而可以得到，△PMD為等腰三角形，∠PMD=120°即二面角P-MN-D的大小；
（2）若，△CDN為直角三角形，則必有CN⊥DN，連BD，設AD=a，我們可以得到Rt△BD∽Rt△CDB，然后根據相似三角形的性質得到

CD

AB

的值．

解答：解：（1）由已知AD⊥AB，PD⊥AB，得AB⊥平面PAD，
又MN∥AB，∴MN⊥平面PAD，MN⊥PM，MN⊥DM
∴∠PMD為二面角P-MN-D的平面角．（3分）
由已知∠PAD=60°，得∠MPD=30°，
∵DM是Rt△PDA斜邊PA上的中線，MD=MP
∴△PMD為等腰三角形，∠PMD=120°，
即二面角P-MN-D的大小為120°．（7分）
（2）顯然∠DCN≠90°．若∠CDN=90°，則CD⊥平面PAN，
而CD⊥平面PAD，故平面PAN與平面PAD重合，與題意不符．
由△CDN是Rt△，則必有CN⊥DN，
連BD，設AD=a，由已知得AB=

2

a，從而BD=

3

a，
又PD=ADtan60°

3

a，
∴PD=BD，得DN⊥PB，
故DN⊥平面PBC，（10分）
∴DN⊥BC，又PD⊥BC，
∴BC⊥平面PBD，
∴BD⊥BC，反之亦然．
∵AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB，
∴Rt△BD∽Rt△CDB（12分）
∴

CD

BD

=

BD

AB

CD=

BD2

AB

CD

AB

=

BD2

AB2

=

3

2

．（14分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的性質，其中（1）的關鍵是得到∠PMD為二面角P-MN-D的平面角，而（2）的關鍵是得到Rt△BD∽Rt△CDB．