Question

CD為直角三角形ABC中斜邊AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面積成等比數(shù)列，求∠B（用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析：要用反三角函數(shù)表示∠B，關(guān)鍵是要解三角形，求出含B的三角形中對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，再利用三角函數(shù)的定義求出∠B的一個(gè)三角函數(shù)值，再用反三角函數(shù)表示∠B．

解答：解：設(shè)CD=h，AB=c，BD=x，則AD=c-x
因此，△ACD的面積為

1

2

h(c-x)，
△CBD的面積為

1

2

hx，△ABC的面積為

1

2

hc，依題意，
(

1

2

hx)=

1

2

h(c-x)•

1

2

hc，
即x²=c（c-x），即x²+cx-c²=0，
x=

-c± c2+4c2

2

．
∵取負(fù)號(hào)不合題意，∴取正號(hào)，得x=

5 -1

2

c．
又依直角三角形的性質(zhì)，有AC²=AD•AB=c（c-x）．
但x²=c（c-x），∴AC²=x²，∴AC=x=DB=

5 -1

2

c．
在直角三角形ABC中，sinB=

AC

AB

=

5 -1 2 c

c

=

5 -1

2

．
故∠B=arcsin

5- 1

2

．

點(diǎn)評(píng)：在雙垂直問(wèn)題（即過(guò)直角三角形的直角頂點(diǎn)做斜邊上的高）中，要善于利用勾股定理、射影定理去尋求邊與邊之間的關(guān)系．