Question

已知S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，（n∈N^*），設f （n）=S_2n+1-S_n+1，試確定實數m的取值范圍，使得對于一切大于1的自然數n，不等式f(n)＞[logm(m-1)]2-

11

20

[log(m-1)m]2恒成立．

Answer 1

分析：先求函數的最小值，從而要使對于一切大于1的正整數n，不等式f(n)＞[logm(m-1)]2-

11

20

[log(m-1)m]2恒成立．所以只要

9

20

＞[logm(m-1)]2-

11

20

[log(m-1)m]2成立即可．

解答：解：由題意，f（n）=S_2n+1-S_n+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+1

（n∈N*）
∵函數f（n）為增函數，
∴f（n）_min=f（2）=

9

20

要使對于一切大于1的正整數n，不等式f(n)＞[logm(m-1)]2-

11

20

[log(m-1)m]2恒成立．
所以只要

9

20

＞[logm(m-1)]2-

11

20

[log(m-1)m]2成立即可．
由

m＞0．m≠1 m-1＞0，m-1≠1

，得m＞1且m≠2
此時設[log_m（m-1）]²=t，則t＞0
于是

9 20 ＞t- 11 20 t＞0

，解得0＜t＜1
由此得0＜[log_m（m-1）]²＜1
解得m＞

1+ 5

2

且m≠2．

點評：本題考查利用最值法解決恒成立問題，考查不等式的求解，考查學生計算能力，關鍵是利用函數的單調性求函數的最小值．