Question

已知S_n=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2n

（n＞1，n∈N^*）．求證：S_2n＞1+

n

2

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：首先證明當n=2時等式成立，再假設n=k時不等式成立，得到不等式

S

2k

=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2k

≥1+

k

2

，下面證明當n=k+1時等式左邊=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

，根據前面的假設化簡即可得到結果，最后得到結論．

解答：證明：（1）當n=2時，左邊=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

=

25

12

，右邊=1+

2

2

=2，
∴左邊＞右邊
（2）假設n=k（k≥2）時不等式成立，即

S

2k

=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2k

≥1+

k

2

，
當n=k+1時，不等式左邊S_2（k+1）=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＞1+

k

2

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＞1+

k

2

+

2k

2k+2k

=1+

k

2

+

1

2

=1+

k+1

2

，
綜上（1）（2）可知S_2n＞1+

n

2

對于任意的n≥2正整數成立．

點評：本題考查用數學歸納法證明等式成立，用數學歸納法證明問題的步驟是：第一步驗證當n=n₀時命題成立，第二步假設當n=k時命題成立，那么再證明當n=k+1時命題也成立．本題解題的關鍵是利用第二步假設中結論證明當n=k+1時成立，本題是一個中檔題目．