Question

6．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），右焦點$F（\sqrt{2}，0）$，點$D（\sqrt{2}，1）$在橢圓上；
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）是否存在過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點，且∠AFB=90°？若存在，請求出所有符合要求的直線；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)焦點坐標和D點坐標列方程組求出a²，b²即可；
（2）對直線l的斜率進行討論，使用根與系數(shù)的關(guān)系計算$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$，根據(jù)計算結(jié)果是否為0得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可知$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=2}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得a²=4，b²=2，
∴橢圓C的標準方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）若直線l無斜率，則直線l的方程為x=0，
∴A（0，$\sqrt{2}$），B（0，-$\sqrt{2}$），又F（$\sqrt{2}$，0），
∴∠AFB=∠AFO+∠BFO=90°，符合題意；
若直線l有斜率，設(shè)直線l的方程為y=kx，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，消元得（1+2k²）x²=4，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=0，x₁•x₂=-$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{FA}$=（x₁-$\sqrt{2}$，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-$\sqrt{2}$，y₂），
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=（x₁-$\sqrt{2}$）（x₂-$\sqrt{2}$）+y₁y₂=x₁x₂-$\sqrt{2}$（x₁+x₂）+2+y₁y₂
=-$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$+2-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$≠0，
∴$\overrightarrow{FA}$與$\overrightarrow{FB}$不垂直，即∠AFB≠90°．
綜上，存在過原點的直線l使得∠AFB=90°，直線l的方程為x=0．

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．