Question

設橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A，離心率為，在x軸負半軸上有一點B，且＝2

(1)若過A、B、F₂三點的圓恰好與直線x－y－3＝0相切，求橢圓C的方程；

(2)在(1)的條件下，過右焦點F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，在x軸上是否存在點P(m，0)，使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意，得，所以 　　又由于，所以為的中點， 　　所以 　　所以的外接圓圓心為，半徑；3分 　　又過三點的圓與直線相切， 　　所以解得， 　　所求橢圓方程為；6分 　　(2)有(1)知，設的方程為： 　　將直線方程與橢圓方程聯立 　　，整理得 　　設交點為，因為 　　則；8分 　　若存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形， 　　由于菱形對角線垂直，所以 　　又＋ 　　又的方向向量是，故，則 　　，即 　　由已知條件知；11分 　　，故存在滿足題意的點且的取值范圍是；13分