Question

矩形ABCD的四個頂點的坐標分別為A（-2，1），B（2，1），C（2，-1），D（-2，-1），過原點且互相垂直的兩條直線分別與矩形的邊相交于E、F、G、H四點，則四邊形EGFH的面積的最小值為    ，最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：求出舉行的各個頂點的坐標，利用兩點間的距離公式求出長和寬，計算舉行的面積，S=2（k+），利用函數
S=2（k+） 在[，1]上是減函數，在[1，2]上是增函數，故k=1時，S有最小值，最大值是k=時的S值，
或當 k=2時的S值，計算可得答案．
解答：解：設過原點且互相垂直的兩條直線分別為  y=kx，和 y=-x，（不妨設k＞0）由題意得，
則 E （，1），F （-，-1），G（-k，1），H（k，-1），
由兩點間的距離公式得 EF==2，GH==2，
四邊形EGFH的面積為 S=•EF•GH=2=2=2||=2（k+）．
根據E、G 兩點都在線段AB上，可得-2≤≤2，且-2≤-k≤2，∴≤k≤2．
又函數 S=2（k+） 在[，1]上是減函數，在[1，2]上是增函數，故 k=1時，S有最小值為4．
當 k=時，S=5；   當 k=2時，S=5．  當 k=0時，S=4．
綜上，S的最小值等于4，最大值等于 5，
故答案為 4，5．


點評：本題考查函數的單調性及函數的最值，兩直線垂直的性質，體現了數形結合的數學思想，其中，確定一直線的斜率
k的范圍是解題的關鍵和難點．