Question

如圖：在橢圓+=1中有一內(nèi)接矩形ABCD（四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上），A點(diǎn)在第一象限內(nèi)．當(dāng)內(nèi)接矩形ABCD的面積最大時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）

A．（，2）
B．（，2）
C．（，）
D．（1，）

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)橢圓參數(shù)方程設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)，則橢圓+=1的內(nèi)接矩形ABCD的面積可用A點(diǎn)坐標(biāo)表示，就把矩形ABCD的面積用含參數(shù)θ的式子表示，再利用正弦函數(shù)的有界性判斷θ為何值時(shí)，面積有最大值．
解答：解：∵A點(diǎn)在橢圓+=1上，∴可設(shè)A（5cosθ，4sinθ）
∴矩形ABCD的面積為4×（5cosθ）（4sinθ）=80cosθsinθ=40sin2θ
∵sin2θ≤1，且當(dāng)2θ=時(shí)等號(hào)成立，
∴40sin2θ≤40，且當(dāng)2θ=時(shí)等號(hào)成立，
∴當(dāng)2θ=，即θ=時(shí)，橢圓+=1的內(nèi)接矩形ABCD面積有最大值，此時(shí)A（，）
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的參數(shù)方程在求最值時(shí)的應(yīng)用，其中結(jié)合了三角函數(shù)的有界性，屬于綜合題．