Question

【題目】已知函數f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.

(1)試判斷f(x)的奇偶性；

(2)若a＝0時，求f(x)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）當a＝0時，f(x)為偶函數，當a≠0時，f(x)為非奇非偶函數．（2）1

【解析】試題分析：（1）先確定定義域關于原點對稱，再判斷f(－x)與f(x)關系，最后根據奇偶性定義確定奇偶性；（2）先研究x≥0時，函數最小值，再根據偶函數性質求最值

試題解析：解：(1)當a＝0時，f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f(x)．

當a≠0時，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，

此時f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(a)．

∴當a＝0時，f(x)為偶函數，當a≠0時，f(x)為非奇非偶函數．

(2)當a＝0時，f(x)＝x2＋|x|＋1為偶函數，

∴x≥0時，f(x)＝x2＋x＋1，

x＝0時，f(x)min＝1，

∴f(x)min＝1.

點睛: 判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：

(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系．

在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價關系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數)是否成立．