已知a_n是多項式（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ（n≥2，n∈N*）的展開式中含x²項的系數，則 $數學公式$ 的值是

A.
0
B.
$數學公式$
C.
$數學公式$
D.
$數學公式$

B
分析：本題由于各個二項式展開式中含x²項的系數通項為C_n²，則最終的x²的系數可以借助組合數公式C_n+1^m=C_n^m+C_n^m-1求出．
解答：解；因為（1+x）ⁿ中含x²的系數為C_n²，所以多項式（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ（n≥2，n∈N*）的展開式中含x²項的系數
a_n=C₂²+C₃²+C₄²+C₅²+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₃³+C₃²+C₄²+C₅²+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₄³+C₄²+C₅²+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₅³+C₅²+C₆²…+C_n-1²+C_n²=C₆³+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₇³+…+C_n-1²+C_n²=…=C_n³
∴a_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴則 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
故選擇B
點評：本題在考查二項式定理的展開式的同時主要檢測了學生對組合數公式的掌握情況，并考查了學生對極限知識的掌握．屬于綜合題型，難度適中．

練習冊系列答案

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已知a_n是多項式（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ（n≥2，n∈N*）的展開式中含x²項的系數，則

lim

n→∞

的值是（　　）

A、0

B、

C、

D、

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（2011•上海模擬）設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．
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（2）在a_n與an+1(n∈N*)之間插入n個1，構成如下的新數列：a₁，1，a₂，1，1，a₃，1，1，1，a₄，…，求這個數列的前2012項的和；
（3）在a_n與a_n+1之間插入n個數，使這n+2個數組成公差為d_n的等差數列（如：在a₁與a₂之間插入1個數構成第一個等差數列，其公差為d₁；在a₂與a₃之間插入2個數構成第二個等差數列，其公差為d₂，…以此類推），設第n個等差數列的和是A_n．是否存在一個關于n的多項式g（n），使得A_n=g（n）d_n對任意n∈N^*恒成立？若存在，求出這個多項式；若不存在，請說明理由．

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