Question

已知a_n是多項式（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ（n≥2，n∈N*）的展開式中含x²項的系數，則

lim

n→∞

an

n3

的值是（　　）

A．0

B． 1 6

C． 1 3

D． 1 2

Answer 1

解；因為（1+x）ⁿ中含x²的系數為C_n²，所以多項式（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ（n≥2，n∈N*）的展開式中含x²項的系數
a_n=C₂²+C₃²+C₄²+C₅²+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₃³+C₃²+C₄²+C₅²+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₄³+C₄²+C₅²+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₅³+C₅²+C₆²…+C_n-1²+C_n²=C₆³+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₇³+…+C_n-1²+C_n²=…=C_n³
∴a_n=

n(n-1)(n-2)

3×2×1

=

n(n-1)(n-2)

6

，
∴則

lim

n→∞

an

n3

=

lim

n→∞

(1- 1 n )(1- 2 n )

6

=

1

6

；
故選擇B