Question

已知a_n是多項式（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ（n≥2，n∈N*）的展開式中含x²項的系數，則

lim

n→∞

an

n3

的值是（　　）

• A、0
• B、

  1

  6

• C、

  1

  3

• D、

  1

  2

Answer 1

分析：本題由于各個二項式展開式中含x²項的系數通項為C_n²，則最終的x²的系數可以借助組合數公式C_n+1^m=C_n^m+C_n^m-1求出．

解答：解；因為（1+x）ⁿ中含x²的系數為C_n²，所以多項式（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ（n≥2，n∈N*）的展開式中含x²項的系數
a_n=C₂²+C₃²+C₄²+C₅²+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₃³+C₃²+C₄²+C₅²+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₄³+C₄²+C₅²+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₅³+C₅²+C₆²…+C_n-1²+C_n²=C₆³+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₇³+…+C_n-1²+C_n²=…=C_n³
∴a_n=

n(n-1)(n-2)

3×2×1

=

n(n-1)(n-2)

6

，
∴則

lim

n→∞

an

n3

=

lim

n→∞

(1- 1 n )(1- 2 n )

6

=

1

6

；
故選擇B

點評：本題在考查二項式定理的展開式的同時主要檢測了學生對組合數公式的掌握情況，并考查了學生對極限知識的掌握．屬于綜合題型，難度適中．