Question

已知函數.

（Ⅰ）求函數的極大值.

（Ⅱ）求證：存在，使；

（Ⅲ）對于函數與定義域內的任意實數x，若存在常數k,b,使得和都成立，則稱直線為函數與的分界線.試探究函數與是否存在“分界線”？若存在，請給予證明，并求出k,b的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

【解析】（Ⅰ）由求函數遞增區間，求函數遞減區間，即可求極大值；（Ⅱ）構造新函數，證得函數在上存在極值點即可；3.先尋找函數的“分界線”函數，再分別證明和都成立.

試題分析：

試題解析：（Ⅰ）              （1分）

令解得

令解得.                    （2分）

∴函數在內單調遞增，在上單調遞減.      （3分）

所以的極大值為                 （4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在內單調遞增，在上單調遞減，

令

∴                   （5分）

取則

             （6分）

故存在使即存在使

                  （7分）

（說明：的取法不唯一，只要滿足且即可）

（Ⅱ）設

則

則當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增.

∴是函數的極小值點，也是最小值點,

∴

∴函數與的圖象在處有公共點.   （9分）

設與存在“分界線”且方程為，

令函數

①由≥，得在上恒成立，

即在上恒成立，

∴，

即，

∴，故               （11分）

②下面說明：，

即恒成立.

設

則

∵當時，,函數單調遞增，

當時，,函數單調遞減，

∴當時，取得最大值0，.

∴成立.               （13分）

綜合①②知且

故函數與存在“分界線”，

此時                   （14分）

考點：1.求函數的極值；2.判函數的單調性；3.構造新函數.