Question

在平面直角坐標系中，曲線C₁的參數方程為

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0，φ為參數），以Ο為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂是圓心在極軸上且經過極點的圓，已知曲線C₁上的點M（2，

3

），對應的參數φ=

π

3

，θ=

π

4

與曲線C₂交于點D（

2

，

π

4

）
（Ⅰ）求曲線C₁，C₂的普通方程；
（Ⅱ）A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

）是曲線C₁上的兩點，求

1

ρ12

+

1

ρ22

的值．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（Ⅰ）把曲線C₁的參數方程利用同角三角函數的基本關系消去參數φ，化為普通方程；再根據曲線C₁上的點M（2，

3

）對應的參數φ=

π

3

，求得a、b的值，從而進一步確定曲線C₁的直角坐標方程．設所求的圓的半徑為r，則所求的圓的方程為 （x-r）²+y²=r²，把點D的直角坐標代入圓的方程求得r的值，可得所求的圓的方程．
（Ⅱ）曲線C₁的極坐標方程為

(ρcosθ)2

16

+

(ρsinθ)2

4

=1，把A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

）分別代入，求得

1

ρ12

=

cos2θ+4sin2θ

16

、

1

ρ22

=

sin2θ+4cos2θ

16

，可得 

1

ρ12

+

1

ρ22

的值．

解答：解：（Ⅰ）把曲線C₁的參數方程為

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0，φ為參數），利用同角三角函數的基本關系消去參數φ，
化為普通方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
再根據曲線C₁上的點M（2，

3

）對應的參數φ=

π

3

，可得2=acos

π

3

、

3

=bsin

π

3

，求得a=4、b=2，
故曲線C₁的直角坐標方程為

x2

16

+

y2

4

=1．
設所求的圓的半徑為r，r＞0，則所求的圓的方程為 （x-r）²+y²=r²，由于點D（

2

，

π

4

）的直角坐標為（1，1），
把點D（1，1）代入圓的方程求得r=1，故所求的圓的方程為 （x-1）²+y²=1．
（Ⅱ）∵曲線C₁的極坐標方程為

(ρcosθ)2

16

+

(ρsinθ)2

4

=1，把A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

）分別代入可得

(ρ1cosθ)2

16

+

(ρ1sinθ)2

4

=1 ①，

[ρ2cos(θ+ π 2 )]2

16

+

[ρ2sin(θ+ π 2 )]2

4

=1 ②，
由①求得

1

ρ12

=

cos2θ+4sin2θ

16

，由②求得 

1

ρ22

=

sin2θ+4cos2θ

16

，
∴

1

ρ12

+

1

ρ22

=

5

16

．

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，屬于基礎題．