Question

設函數f(x)對任意x，y∈R，都f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0時，f(x)＜0，f(1)=-2，
(1)求證：f(x)是奇函數；
(2)試問在-3≤x≤3時時，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有，說出理由．

Answer 1

(1)證明：令x=y=0，則有，
令y=-x，則有，
即，
∴f（x）是奇函數．
(2)任取，則，
且，
∴，
∴y= f（x）在R上為減函數，
因為f(3)為函數的最小值，f(-3)為函數的最大值，
f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6，f(-3)=-f(3)=6，
∴函數的最大值為6，最小值為-6．