Question

設函數f(x)對任意x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0時， f(x)＜0,f(1)=-2.

（1）求證：f(x)是奇函數.

（2）試問在-3≤x≤3時，f(x) 是否有最值？如果有,求出最值；如果沒有，說出理由.

Answer 1

（1）證明：令x=y=0，則有f(0)=2f(0)f(0)=0.令 y=-x,則有f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函數．

（2）解：任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0f(x₂-x₁)＜0,且f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)=f(x₁-x₂)=-f(x₂-x₁)

＞0.

∴f(x₁)＞f(x₂).∴y=f(x)在R上為減函數.

因此f(3)為函數的最小值，f(-3)為函數的最大值.

f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6,?

∴函數最大值為6，最小值為-6.