Question

某一電視頻道在一天內有x次插播廣告的時段，一共播放了y條廣告，第1次播放了1條和余下的y﹣1條的，第2次播放了2條以及余下的，第3次播放了3條以及余下的，以后每次按此規律插播廣告，在第x次播放了余下的x條（x＞1）．
（1）設第k次播放后余下a_k條，這里a₀=y，a_x=0，求a_k與a_k﹣1的遞推關系式．
（2）求這家電視臺這一天內播放廣告的時段x與廣告的條數y．

Answer 1

解：（1）依題意，第k次播放了 k+ （a_k-1﹣k）= a_k-1+ k，
∴a_k=a_k-1-（ a_k-1+ k）．
∴a_k-1=k+ a_k，
即a_k與a_k﹣1的遞推關系式為a_k﹣1=k+ a_k．
（2）∵a₀=1+ a₁ =1+ （2+ a₂）
=1+2× +（ ）²a₂ =1+2× +3×（ ）²+（ ）³a₃
=1+2× +3×（ ）²+···+x×（ ）^x﹣1+（ ）^xa_x．
∵a_x=0，
∴y=1+2× +3×（ ）²++x×（ ）^x﹣1．
用錯位相減法求和，可得y=49+（x﹣7）× ．
∴