Question

某一電視頻道在一天內有x次插播廣告的時段，一共播放了y條廣告，第1次播放了1條和余下的y-1條的，第2次播放了2條以及余下的，第3次播放了3條以及余下的，以后每次按此規律插播廣告，在第x次播放了余下的x條（x＞1）．
（1）設第k次播放后余下a_k條，這里a=y，a_x=0，求a_k與a_k-1的遞推關系式．
（2）求這家電視臺這一天內播放廣告的時段x與廣告的條數y．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，第k次播放了k+（a_k-1-k）=a_k-1+k，由此能夠推導出a_k與a_k-1的遞推關系式．
（2）由a=1+a₁=1+2×+3×（）²++x×（）^x-1+（）^xa_x推導出y=1+2×+3×（）²++x×（）^x-1，用錯位相減法求和，可得y=49+（x-7）×．由此可得到這家電視臺這一天播放廣告的時段為7段，廣告的條數為49．
解答：解：（1）依題意，第k次播放了
k+（a_k-1-k）=a_k-1+k，
∴a_k=a_k-1-（a_k-1+k）．
∴a_k-1=k+a_k，
即a_k與a_k-1的遞推關系式為a_k-1=k+a_k．
（2）∵a=1+a₁
=1+（2+a₂）
=1+2×+（）²a₂
=1+2×+3×（）²+（）³a₃
=1+2×+3×（）²++x×（）^x-1+（）^xa_x．
∵a_x=0，
∴y=1+2×+3×（）²++x×（）^x-1．
用錯位相減法求和，可得y=49+（x-7）×．∴
故這家電視臺這一天播放廣告的時段為7段，廣告的條數為49．
點評：本題考查數列的性質和運用，解題時要認真審題．仔細解答．