Question

某一電視頻道在一天內有x次插播廣告的時段，一共播放了y條廣告，第1次播放了1條和余下的y-1條的

1

8

，第2次播放了2條以及余下的

1

8

，第3次播放了3條以及余下的

1

8

，以后每次按此規律插播廣告，在第x次播放了余下的x條（x＞1）．
（1）設第k次播放后余下a_k條，這里a₀=y，a_x=0，求a_k與a_k-1的遞推關系式．
（2）求這家電視臺這一天內播放廣告的時段x與廣告的條數y．

Answer 1

分析：（1）依題意，第k次播放了k+

1

8

（a_k-1-k）=

1

8

a_k-1+

7

8

k，由此能夠推導出a_k與a_k-1的遞推關系式．
（2）由a₀=1+

8

7

a₁=1+2×

8

7

+3×（

8

7

）²++x×（

8

7

）^x-1+（

8

7

）^xa_x推導出y=1+2×

8

7

+3×（

8

7

）²++x×（

8

7

）^x-1，用錯位相減法求和，可得y=49+（x-7）×

8x

7x-1

．由此可得到這家電視臺這一天播放廣告的時段為7段，廣告的條數為49．

解答：解：（1）依題意，第k次播放了
k+

1

8

（a_k-1-k）=

1

8

a_k-1+

7

8

k，
∴a_k=a_k-1-（

1

8

a_k-1+

7

8

k）．
∴a_k-1=k+

8

7

a_k，
即a_k與a_k-1的遞推關系式為a_k-1=k+

8

7

a_k．
（2）∵a₀=1+

8

7

a₁
=1+

8

7

（2+

8

7

a₂）
=1+2×

8

7

+（

8

7

）²a₂
=1+2×

8

7

+3×（

8

7

）²+（

8

7

）³a₃
=1+2×

8

7

+3×（

8

7

）²++x×（

8

7

）^x-1+（

8

7

）^xa_x．
∵a_x=0，
∴y=1+2×

8

7

+3×（

8

7

）²++x×（

8

7

）^x-1．
用錯位相減法求和，可得y=49+（x-7）×

8x

7x-1

．∴y∈N*，∴x-7=0．∴

x=7 y=49.

故這家電視臺這一天播放廣告的時段為7段，廣告的條數為49．

點評：本題考查數列的性質和運用，解題時要認真審題．仔細解答．