Question

設點P（x，y）是圓x²+y²=1外一點，PS，PT是圓的兩條切線，S，T是切點．則

PS

•

PT

的最小值為（　　）

• A．1
• B．-1
• C．3-2

  2

• D．2

  2

  -3

Answer 1

分析：利用圓切線的性質：與圓心切點連線垂直；設出一個角，通過解直角三角形求出PS，PT的長；利用向量的數量積公式表示出

PS

•

PT

，利用三角函數的二倍角公式化簡函數，再通過換元，利用基本不等式求出最值．

解答：解：圓心為原點O，設PS與PO的夾角為a，則|

PS

|=|

PT

|=

1

tanα

，
故

PS

•

PT

=|

PS

||

PT

|cos2α=

1

tan2α

cos2α=

cos2α

sin2α

cos2α
=

1+cos2α

1-cos2α

cos2α，記cos2α=u，u∈[-1，1]
則

PS

•

PT

=

1+u

1-u

u=-

(u-1)2+3(u-1)+2

u-1

=-[（u-1）+

2

u-1

+3]=（1-u）+

2

1-u

-3
≥2

(1-u) 2 1-u

-3=2

2

-3，
故

PS

•

PT

的最小值為2

2

-3，
故選D

點評：本題考查圓切線的性質、三角函數的二倍角公式、向量的數量積公式、基本不等式求函數的最值，屬于中檔題．