Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a，x∈R其中a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，找出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，把定義域由零點(diǎn)分成幾個(gè)區(qū)間判斷導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號，從而得到原函數(shù)在個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)（1）中秋出的單調(diào)區(qū)間，說明函數(shù)在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)和方程根的轉(zhuǎn)化列式可求a的范圍．

解答：解：由f(x)=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a，得f^′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a）
由f^′（x）=0，得x₁=-1，x₂=a＞0．
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f^′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（-1，a）時(shí)，f^′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f^′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（-∞，-1），（a，+∞）；減區(qū)間為（-1，a）．
（2）由（1）知f（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，
從而函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)

f(-2)＜0 f(-1)＞0 f(0)＜0

解得0＜a＜

1

3

．
所以a的取值范圍是（0，

1

3

）．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．