Question

已知函數f（x）=（）²（x＞1）．
（1）求f（x）的反函數f^-1（x）；
（2）判定f^-1（x）在其定義域內的單調性；
（3）若不等式（1-）f^-1（x）＞a（a-）對x∈[，]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用反函數求解三步驟：1、解：解出x 2、換：x、y換位 3、標：標出定義域．先由y=（）²，表示出x，最后互換x，y即可；
（2）設0＜x₁＜x₂＜1，再利用函數單調性的定義研究f^-1（x₁）與f^-1（x₂）的大小關系．最后得出其在（0，1）上的單調性即可；
（3）先將原恒成立問題轉化為（1+a）+1-a²＞0對x∈[，]恒成立問題，令t=，最終轉化為一次函數恒成立的問題解決即可．
解答：解：（1）由y=（）²，得x=．
又y=（1-）²，且x＞1，
∴0＜y＜1．
∴f^-1（x）=（0＜x＜1）．
（2）設0＜x₁＜x₂＜1，則-＜0，1-＞0，1-＞0．
∴f^-1（x₁）-f^-1（x₂）=＜0，
即f^-1（x₁）＜f^-1（x₂）．
∴f^-1（x）在（0，1）上是增函數．
（3）由題設有（1-）＞a（a-）．
∴1+＞a²-a，即（1+a）+1-a²＞0對x∈[，]恒成立．
顯然a≠-1．令t=，
∵x∈[，]，∴t∈[，]．
則g（t）=（1+a）t+1-a²＞0對t∈[，]恒成立．
由于g（t）=（1+a）t+1-a²是關于t的一次函數，
∴g（）＞0且g（）＞0，
即
解得-1＜a＜．
點評：本題主要考查了函數恒成立問題、函數單調性的判斷與證明、反函數等知識．屬于中檔題．恒成立問題多需要轉化，因為只有通過轉化才能使恒成立問題等到簡化；轉化過程中往往包含著多種數學思想的綜合運用，同時轉化過程更提出了等價的意識和要求．