Question

設，函數．

（1）當時，求在內的極大值；

（2）設函數，當有兩個極值點時，總有，求實數的值.（其中是的導函數．）

 

Answer 1

【答案】

（1）1;（2） .

【解析】

試題分析：（1）當時，求, 令，求,利用的單調性，求的最大值，利用的最大值的正負，確定的正負，從而確定的單調性，并確定的正負，即的正負，得到的單調性，確定極大值，此題確定極大值需要求二階導數，偏難；（2）先求函數，再求,由方程有兩個不等實根, 確定的范圍，再將代入，再整理不等式，討論,,三種情況，反解，從而利于恒成立求出的范圍.屬于較難試題.

試題解析：（1）當時，，

則， 2分

令，則，

顯然在內是減函數，

又因，故在內，總有，

所以在上是減函數 4分

又因， 5分

所以當時，，從而，這時單調遞增，

當時，，從而，這時單調遞減，

所以在的極大值是． 7分

（2）由題可知，

則． 8分

根據題意，方程有兩個不同的實根，（），

所以，即，且，因為，所以.

由，其中，可得

注意到，

所以上式化為，

即不等式對任意的恒成立 10分

（i）當時，不等式恒成立，；

（ii）當時，恒成立，即．

令函數，顯然，是上的減函數，

所以當時，，所以； 12分

（iii）當時，恒成立，即．

由（ii），當時，，所以 14分

綜上所述，． 15分

考點：1.利于導數求函數的極值；2.利用導數解決恒成立問題.